GeoGebra é um software educacional livre para matemática que une geometria dinâmica, álgebra e cálculo.
No modo mais simples, você pode fazer construções incluindo pontos, vetores, segmentos, linhas e seções cônicas, bem como funções, que podem ser alteradas dinamicamente depois pelo mouse. Por outro lado, também a entrada direta em notação escolar como: g: 3x+ 4y = 7 ou c: (x – 2)2 + (y -3)2 = 25 é possível, e uma série de comandos, incluindo diferenciação e integração estão a sua disposição. A mais notável característica do GeoGebra é sua visão dual de objetos: cada expressão na janela algébrica corresponde a um objeto na janela geométrica e vice-versa.
No que segue você conhecerá o GeoGebra examinando três exemplos. Você deveria trabalhar com eles um após o outro e também não se esquecer de experimentar as dicas dadas.
Exemplo 1: Circunferência circunscrita a um triângulo.
Exemplo2: Tangentes a um círculo.
Exemplo 3: Derivada e tangente de uma função.
Após inicializar o GeoGebra, a janela representada abaixo aparece. Por meio das ferramentas de construção (modos) na barra de ferramentas você pode fazer construções na área de desenho com o mouse. Ao mesmo tempo as coordenadas correspondentes e equações são exibidas na janela algébrica. O campo de entrada de texto é usado para entrar com as coordenadas, equações, comandos e funções diretamente; estes são exibidos na área de desenho imediatamente após o pressionamento da tecla enter. Geometria e álgebra estão lado a lado.
Exemplo 1: Circunferência circunscrita a um triângulo.
Tarefa: Desenhe um triângulo A, B, C e construa sua circunferência circunscrita usando GeoGebra.
Construção usando o mouse
Escolha o modo “Polígono” na barra de ferramentas (clique na pequena flecha no terceiro ícone a partir da esquerda). Agora clique na área de desenho três vezes para criar os vértices A, B e C. Feche o triângulo clicando novamente no ponto A.
Depois, escolha o modo “mediatriz” e construa duas mediatrizes clicando nos dois lados do triângulo.
No modo “Intersecção de dois objetos” você pode clicar na intersecção de ambas as linhas bissetrizes para obter o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Para lhe dar o nome de “M”, clique nele com o botão direito do mouse e escolha “Renomear” a partir do menu que aparece.
Para finalizar a construção, você tem que escolher o modo “Círculo definido pelo seu centro e um de seus pontos” e clique primeiramente no centro, então em qualquer vértice do triângulo.
Agora escolha o modo “Mover” e use o mouse para mudar a posição de qualquer dos vértices – você experimentará o significado de “geometria dinâmica”.
Algumas dicas
- Tente o botão “Desfazer” no lado direito da barra de ferramentas.
- Para esconder um objeto, dê um clique com o botão direito e desmarque “Exibir Objeto”.
- A aparência dos objetos (cor, tipo de linha,...) podem ser mudadas facilmente: apenas use o botão direito novamente no objeto e escolha “Propriedades” a partir do menu de contexto que aparece.
- No menu “Exibir”, podem ser escondidos e exibidos a janela de álgebra, eixos e a grade.
- Para mudar a posição da área de desenho, escolha o modo “Mover área de desenho” e simplesmente usar o mouse para arrastar.
- O menu “Exibir – Protocolo de Construção” fornece uma listagem na forma de tabela listando todos os passos que você tomou fazendo sua construção. Isto permite a você refazer a construção passo-a-passo por meio do uso da teclas de direção, e também modificar a ordem dos vários passos logo depois (veja o menu “Ajuda” do protocolo de construção). Além disso, você será capaz de usar o menu “Exibir” para ocultar ou mostrar colunas indesejadas.
- Informação adicional sobre construções por meio do mouse podem ser encontrada no menu “Ajuda”, seção “Entrada Geométrica”.
Construção usando o campo de entrada de texto
Nós agora faremos a mesma construção usando o campo de entrada de texto, assim nós necessitamos de uma nova área de desenho (menu “Arquivo – Novo”). Então, digite os seguintes comandos no campo de entrada de texto na parte de baixo da tela e pressione a tecla enter após cada linha.
A = (2, 1)
B = (12, 5)
C = (8, 11)
Polygon[A, B, C]
l_a = LineBisector[a]
l_b = LineBisector[b]
M = Intersect[l_a, l_b]
Circle[M, A]
Algumas dicas
- Complementação automática de comandos: após entrar as primeiras duas letras de um comando, ele será exibido automaticamente. Se você quer adotar a sugestão, pressione a tecla enter, caso contrário, apenas continue digitando.
- Não é necessário digitar cada comando, você também pode o escolher a partir da lista de comandos que está à direita do campo de entrada de texto.
- Clicar no ícone “Entrada” (canto inferior esquerdo) ativa o modo “Campo de Entrada”. Neste modo você pode clicar em um objeto a partir da janela de álgebra ou da área de desenho para copiar seu nome no campo de entrada de texto.
- Para mais dicas a respeito do campo de entrada de texto clique sobre o ponto de interrogação no canto esquerdo inferior.
- Você obterá bons resultados especialmente a partir de seu trabalho com GeoGebra combinando as vantagens dos formulários de entrada, mouse e campo de entrada de texto.
Exemplo 2: Tangentes a um círculo.
Tarefa: Usando GeoGebra, construa o círculo c: (x-3)2 + (y – 2)2 = 25 e suas tangentes através do ponto A = (11, 4).
Construindo usando o campo de entrada de texto e mouse
Insira a equação do círculo c: (x - 3)² + (y - 2)² = 25 no campo de entrada de texto e pressione a tecla enter (dica: o expoente pode ser encontrado na lista a direita do campo de entrada).
Entre o comando C = Center[c] no campo de entrada de texto.
Construa o ponto A digitando A = (11, 4).
Agora escolha o modo “Tangentes” e clique no ponto A e no círculo c.
Após escolher o modo “Mover”, arraste o ponto A com o mouse e observe o movimento das tangentes.
Você deveria também tentar arrastar o círculo c e dar uma olhada em sua equação na janela algébrica.
Algumas dicas
- Use as ferramentas na extrema direita da barra de ferramentas para dar um zoom para mais ou para menos. Se você tem um mouse com roda, tente crtl + roda do mouse para dar um zoom.
- É possível alterar a equação do círculo diretamente na janela algébrica dando um duplo clique nela.
- Informação adicional sobre as possibilidades do campo de entrada de texto podem ser encontradas no menu “Ajuda”, seção “Entrada Algébrica”.
Exemplo 3: Derivada e tangente de uma função.
Tarefa: Use GeoGebra para construir a função f(x) = sin(x), sua derivada e sua tangente em um ponto de f mais um triângulo representando o coeficiente angular.
Insira a função f(x) = sin(x) no campo de entrada de texto e pressione a tecla enter.
Escolha o modo “Novo Ponto” e clique sobre a função f. Isto cria um ponto A em f.
Depois escolha o modo “Tangentes” e clique no ponto A e na função f. Mude o nome da tangente para t (clique com o botão direito do mouse), “Renomear”. Digite o comando s = Slope[t].
Após escolher o modo “Mover”, arraste o ponto A com o mouse e observe o movimento da tangente. Digite B = (x(A), s) e ligue “Habilitar Rastro” deste ponto (clique em B com o botão direito do mouse). x(A) lhe dá a coordenada x do ponto A.
Escolha o modo “Mover” e arraste A com o mouse – B deixará um rastro.
Digite o comando Derivative[f].
Algumas dicas:
- Insira uma função diferente, por exemplo, f(x) = x3 – 2x2 no campo de entrada de texto; imediatamente, sua derivada e tangente serão exibidas.
- Escolha o modo “Mover” e arraste o gráfico da função com o mouse. Observe a mudança das equações da função e sua derivada.
Versão 2: Ponto em x = a
Nós agora vamos fazer outra versão da última construção. Conseqüentemente, primeiro escolha “Arquivo – Novo” para obter uma nova área de desenho. Depois, digite os seguintes comandos no campo de entrada de texto e pressione a tecla enter após cada linha.
f(x) = sin(x)
a = 2
T = (a, f(a))
t = Tangent[a, f]
s = Slope[t]
B = (x(T), s)
Derivative[f]
Escolha o modo “Mover” e clique no número a. Você pode mudar a pressionando as teclas de direção. Ao mesmo tempo, o ponto T e a tangente irão mover-se ao longo da função f.
Controles deslizantes: Você também pode mudar o número a pelo uso de um controle deslizante: dê um clique com o botão direto em a na janela algébrica e escolha “mostrar objeto”.
Dica: Controles deslizantes e também teclas de direção são muito úteis para examinar parâmetros, por exemplo, p e q na equação quadrática y = x² + p x + q.
Tangente sem um dado comando
GeoGebra é capaz de lidar com vetores e também com representações paramétricas de linhas. Conseqüentemente, é possível construir uma tangente t sem o comando Tangent[t]. Para tentar isto, remova a tangente de sua construção clicando nela com o botão direito do mouse e escolhendo “Apagar”. Então, digite os seguintes comandos:
v = (1, f’(a)
t: X = T + rv
v é o vetor direção da tangente t. Em lugar de r, você poderia também usar outra letra como parâmetro.
Algumas dicas:
- Existe uma possibilidade adicional para construir a tangente com a ajuda do vetor direção: t: Line[T, v].
- Tente também o comando Integral[f].
- Dicas adicionais a respeito dos comandos do GeoGebra podem ser encontrados no menu “Ajuda”, seção “Entrada Algébrica – Comandos”. O ajuda do GeoGebra (arquivo .pdf) também está disponível para download em www.geogebra.org.
Informação Adicional
Você é convidado a visitar a homepage do GeoGebra www.geogebra.org. Lá você encontrará informação adicional, bem como a mais recente versão do software livre.
GeoGebra também permite que você crie facilmente planilhas dinâmicas que podem ser usadas com qualquer navegador da internet (por exemplo, Firefox, Safari, ou Internet Explores). Exemplos e informação adicional podem ser encontrados na página web do GeoGebra.
GeoGebra Homepage: www.geogebra.org
GeoGebra User Forum: www.geogebra.org/forum
GeoGebraWiki – consórcio de material educacional: www.geogebra.org/en/wiki
Se você tem quaisquer sugestões ou deseja dar feedback sobre GeoGebra ou sobre este documento, sinta-se livre para escrever para Markus Hohenwarter (mhohen@gmail.com).
Ps.: Esta é uma tradução de "GeoGebra QuickStart", que pode encontrada na íntegra em www.geogebra.org.
Ps.: Esta é uma tradução de "GeoGebra QuickStart", que pode encontrada na íntegra em www.geogebra.org.
